Marzo, 2025
El 14 de marzo de cada año se festeja por todo lo alto el Día Internacional de las Matemáticas, cuya popularidad e influencia de esta disciplina no deja de crecer. A propósito de la celebración, reproducimos estos dos artículos: Manuel de León Rodríguez nos habla sobre ‘matemáticas, arte y creatividad’. Raquel Villacampa Gutiérrez, por su parte, reflexiona sobre los fascinantes números que compiten con pi. Y es que, en un sentido profundo, ciertamente la realidad se muestra matemática, como ya pensaba Pitágoras hace más de dos mil años.
Matemáticas, arte y creatividad
Manuel de León Rodríguez
En Paul Dirac: el alma más pura de la física, Michael Berry reproduce el siguiente diálogo:
“—¿Cómo ha encontrado la ecuación de Dirac, profesor Dirac?
“—La encontré hermosa”.
La 40ª Conferencia General de la Unesco proclamó el día 14 de marzo de cada año como Día Internacional de las Matemáticas, fecha elegida porque en el calendario inglés se escribe 3/14, y no hay número más matemático que Pi.
Cada año se selecciona un tema que conecte las matemáticas con otros campos, y este año es “Matemáticas, arte y creatividad”. Lo que se pretende es hacer una reflexión de lo que une a las matemáticas con el arte, y eso es la creatividad. Pero también la belleza, y en cierta manera la verdad, en cuanto que lo bello y lo verdadero se suelen dar la mano.
De los cuadros de Da Vinci a los girasoles
Si nos vamos a la antigüedad griega, el canon de belleza era el número áureo, que encontramos en estatuas y monumentos. En el Renacimiento italiano, Luca Pacioli escribió el influyente tratado De divina proportione, ilustrado con grabados en madera realizados por Leonardo da Vinci, sobre el uso de la proporción áurea en el arte.
Pero esta proporción —un número irracional, por cierto—, también aparece de manera asombrosa en la naturaleza, por ejemplo, en la distribución de las semillas de un girasol o en los ángulos de las ramas de una planta. En el caso de la naturaleza, ésta optimiza el crecimiento y eso hace que surja la belleza.
A lo largo de la historia, son muchos los movimientos artísticos que utilizaron conceptos matemáticos para realizar sus obras. Por ejemplo, el movimiento De Stijl que pretendía “establecer un vocabulario visual de formas geométricas elementales comprensibles por todos y adaptables a cualquier disciplina.”
De hecho, cuando vemos un cuadro de Piet Mondrian pensamos en la geometría. Y si observamos uno de Jackson Pollock, lo que acude a nuestra mente son los fractales o los fenómenos caóticos. Y qué decir de las maravillosas obras que la artista donostiarra Esther Ferrer ha ido creando basadas en los números primos.
Las ecuaciones son bellas
Si vamos al bando de los matemáticos, hablaremos de la belleza de las ecuaciones. Su belleza es una garantía de su autenticidad. El físico matemático Paul Dirac decía: “Este resultado es demasiado bello para ser falso; es más importante que las ecuaciones sean bellas a que se ajusten a los experimentos”. Y también: “Si uno trabaja desde el punto de vista de conseguir la belleza en su ecuación, uno está en una línea segura de progreso”.
Cuando los matemáticos desarrollamos nuestro trabajo de investigación, emborronamos muchos papeles y encerados con nuestros intentos de ecuaciones (visite un estudio de un pintor para comparar). Y a veces se produce la magia creativa, el descubrimiento. Entonces, aquello por lo que hemos estado peleando durante meses aparece ante nuestros ojos de una manera clara.
Ese es el momento eureka, que no ha venido de la inspiración divina sino de un intenso trabajo, aunque el gran matemático indio Ramanujan decía que la inspiración le venía de la diosa de su familia, Namagiri Thayar, que ponía las ecuaciones en su mente.
Venga de donde venga, la creatividad es bienvenida y necesaria tanto en el arte como en las matemáticas. Disfrutemos con ella del día de Pi. 
▪️◾▪️
Los fascinantes números que compiten con pi
Raquel Villacampa Gutiérrez
La escritura anglosajona del 14 de marzo —3/14— coincide con las tres primeras cifras del número pi. De ahí que se escogiera esta señalada fecha para celebrar el Día Internacional de las Matemáticas.
Que pi es un número interesante nadie lo cuestiona, pero podemos preguntarnos si hay más números interesantes y, en caso de haberlos, por qué lo son.
Phi y el 0
Seguro que alguien ha pensado ya en el número áureo phi por su relación con la belleza y el arte. O en el 0 por la historia y la importancia de su descubrimiento. O incluso en el número raíz de 2 que tantos quebraderos de cabeza dio a los pitagóricos.
Existen infinitos números, por lo que sería imposible hacer una enumeración de todos ellos y estudiar sus propiedades. Por eso, se hace necesario utilizar clasificaciones numéricas, y la más sencilla es la que se enseña en la escuela: existen los números naturales (1, 2, 3…), los enteros (…, -2, -1, 0, 1, 2…), los racionales (½, 3/5, 10/41…) y los irracionales (raíz cuadrada de 2, raíz cúbica de 5, pi, e, phi…). Todos ellos constituyen el conjunto de los números reales.
Los naturales y su carisma
De estos conjuntos, el más especial para estudiar números interesantes es, sin duda, el de los naturales. De hecho, todos los números naturales son interesantes.
En efecto, supongamos que la afirmación de arriba no es cierta, es decir, que no todos los números naturales son interesantes. La historia nos dice que al menos hay uno que sí lo es: el 1729, el más pequeño que puede expresarse como suma de cubos positivos de dos maneras diferentes, tal y como Srinivasa Ramanujan le hizo ver a G. H. Hardy en uno de sus encuentros.
Así, es posible formar dos conjuntos de números naturales: el conjunto A, que contiene a todos los interesantes (incluido al 1729), y el B, que incluye a los aburridos. Ahora bien, podemos ordenar todos los números de B de menor a mayor y… ¡sorpresa! El más pequeño de todos ellos es un número interesante. ¿Por qué? ¡Ser el menor de los números aburridos lo convierte en interesante!
Por lo tanto, debemos sacar ese número del conjunto B y llevarlo a A. Pero al hacer esa operación, B tiene un nuevo número mínimo que vuelve a ser interesante. ¡Otro número que llevamos a A! Y repitiendo el proceso las veces necesarias conseguimos vaciar el conjunto de los números aburridos y así queda demostrado que todos los números naturales son interesantes.
Los primos
Lo anterior presenta un error formal desde el punto de vista lógico-matemático, y es que no se ha definido con rigor lo que significa “ser interesante”. Si definimos con precisión propiedades numéricas vemos que aparecen diferentes tipos de números con muchísimo interés.
Por ejemplo, los números primos, aquellos que solo admiten como divisores a sí mismos y al 1, como le ocurre al 7.
Son bien conocidas las aplicaciones de los números primos a la criptografía. A pesar de que se sabe desde la Antigüedad que existen infinitos, la búsqueda de primos cada vez mayores es un área muy activa de investigación. A finales de 2024 se descubrió el último conocido, el cual cuenta con más de 41 millones de dígitos.
Los números primos, como buenos primos, también se organizan por familias (aunque no todos): están los primos de Sophie Germain, los primos de Mersenne o los primos de Fermat, todos ellos primos glamurosos de origen francés.
Los números perfectos
Otro bloque de números destacados son los llamados “números perfectos”, aquellos que coinciden con la suma de sus divisores (sin contarse a sí mismos), como el 6, que se obtiene de sumar 1+2+3.
Se conoce muy poco sobre estos números: en la actualidad sólo se han descubierto 52, siendo todos ellos pares, y solo hay 4 números perfectos por debajo de 100 000: 6, 28, 496 y 8128. No se sabe si existen infinitos o si cabe la posibilidad de que alguno sea impar. A pesar de que se les conocen pocas aplicaciones (la búsqueda de números primos de Mersenne es la principal), los números perfectos han fascinado a la humanidad desde siempre. San Agustín escribió en el año 420:
“El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto”.
Los números triangulares y redondos
Lo que sí se sabe de los números perfectos es que son triangulares. Si nos fijamos en el 6, podemos obtenerlo apilando bolitas en forma de triángulo, empezando con 3 bolitas en la base, 2 en el escalón siguiente y 1 en la cúspide. A partir del 6, añadiendo una nueva base con 4 bolitas podríamos construir el siguiente número triangular: el 10, y así sucesivamente.
Los “números poligonales” extienden esta idea a otros polígonos, obteniéndose los números cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Resulta un buen ejercicio descubrir las fórmulas de los números poligonales para un número de lados dado.
Hablando de polígonos… ¿qué figura geométrica se obtiene si aumentamos infinitamente el número de lados de un polígono? ¡Un círculo! Y siguiendo con los números y sus tipologías… ¿existirán los “números circulares”?
Con ese nombre no, pero los que todos conocemos y usamos a diario son los “números redondos”, aquellos que acaban en 0 y que nos ayudan en nuestra economía diaria gracias al redondeo. Por ejemplo, el 50 es un número redondo y no los 509,99 que cuesta ese pantalón que me acabo de comprar.
A pesar de que hemos demostrado que todo número natural es interesante, en la página web Number empire se pueden comprobar diversas propiedades de números de hasta 12 dígitos. Así ya nadie podrá decir que hay un número feo de lotería o que el número de matrícula de su coche es aburrido.
No solo pi tiene glamur. Pero pi… bueno, pi es pi.
